PQ-Formel-Rechner

Die pq-Formel löst quadratische Gleichungen der Form x² + px + q = 0. Die Lösungsformel lautet: x₁,₂ = -p/2 ± √((p/2)² - q). Sie ist eine vereinfachte Version der abc-Formel für normierte quadratische Gleichungen (a = 1). Anwendung: Nullstellen von Parabeln finden, Schnittpunkte berechnen, Extremwertaufgaben lösen, physikalische Probleme (Wurfbahn, Bremsweg), wirtschaftliche Optimierung. Die pq-Formel ist in Deutschland Standard, international ist die abc-Formel verbreiteter.

Die Diskriminante D = (p/2)² - q bestimmt die Anzahl und Art der Lösungen. D > 0: Zwei verschiedene reelle Lösungen (Parabel schneidet x-Achse zweimal). D = 0: Eine doppelte Lösung (Parabel berührt x-Achse im Scheitelpunkt). D < 0: Keine reellen Lösungen, aber zwei komplexe (Parabel liegt komplett über/unter x-Achse). Je größer D, desto weiter liegen die Nullstellen auseinander. Bei D = 0 liegt der Scheitelpunkt auf der x-Achse. Geometrisch: D beschreibt die Lage der Parabel zur x-Achse.

Von abc zu pq: Erst durch a teilen! ax² + bx + c = 0 → x² + (b/a)x + (c/a) = 0, also p = b/a und q = c/a. Von pq zu abc: a = 1, b = p, c = q. Beispiel: 2x² + 8x - 10 = 0 → x² + 4x - 5 = 0 (p = 4, q = -5). Häufiger Fehler: Vergessen durch a zu teilen! Die pq-Formel funktioniert NUR wenn der Koeffizient vor x² genau 1 ist. Alternative: Direkt abc-Formel verwenden: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a.

Normalform: ax² + bx + c oder x² + px + q. Scheitelpunktform: a(x - xs)² + ys, wobei S(xs|ys) der Scheitelpunkt ist. Faktorisierte Form: a(x - x₁)(x - x₂), wobei x₁, x₂ die Nullstellen sind. Umwandlungen: Normal → Scheitelpunkt: quadratische Ergänzung oder xs = -p/2. Scheitelpunkt → Normal: Ausmultiplizieren. Normal → Faktorisiert: pq-Formel anwenden. Jede Form hat Vorteile: Scheitelpunktform zeigt Extremwert, Faktorform zeigt Nullstellen, Normalform für Berechnungen.

Schritt 1: Problem in Gleichung übersetzen. Schritt 2: In Normalform bringen (alles auf eine Seite, = 0). Schritt 3: Falls a ≠ 1, durch a teilen. Schritt 4: p und q ablesen. Schritt 5: pq-Formel anwenden. Schritt 6: Lösungen interpretieren (negative Längen ausschließen!). Beispiel Flächenproblem: 'Rechteck mit Umfang 20m, maximale Fläche?' → A = x(10-x) = -x² + 10x → Maximum bei x = 5. Wichtig: Immer Probe machen und Lösungen auf Sinnhaftigkeit prüfen!

Typische Fehler vermeiden: 1) Vergessen durch a zu teilen wenn a ≠ 1. 2) Vorzeichenfehler bei p (beachten: p mit Vorzeichen einsetzen!). 3) Die ±-Regel vergessen (es gibt meist zwei Lösungen). 4) Wurzel aus negativer Zahl nicht erkennen (keine reelle Lösung). 5) Quadrat von p/2 falsch berechnen. 6) Probe nicht machen. Tipp: Erst p/2 berechnen, dann quadrieren, dann unter die Wurzel. Systematisches Vorgehen verhindert Rechenfehler.

Die abc-Formel x = (-b ± √(b²-4ac))/2a ist besser wenn: a ≠ 1 ist (kein zusätzliches Umformen nötig), bei komplexen Brüchen als Koeffizienten, in internationalen Kontexten (abc ist Weltstandard), bei programmierten Berechnungen (allgemeiner). Die pq-Formel ist besser wenn: die Gleichung bereits normiert ist (a=1), für schnelles Kopfrechnen (eine Variable weniger), in deutschen Schulen (mehr geübt).

Die Vieta'schen Formeln ermöglichen schnelle Plausibilitätsprüfung: x₁ + x₂ = -p (Summe der Nullstellen = negatives p), x₁ × x₂ = q (Produkt der Nullstellen = q). Beispiel: x² - 5x + 6 = 0 hat Lösungen x₁ = 2 und x₂ = 3. Check: 2 + 3 = 5 = -(-5) ✓ und 2 × 3 = 6 = q ✓. Wenn die Vieta-Bedingungen nicht erfüllt sind, ist ein Rechenfehler passiert.

Die Berechnungen basieren auf aktuellen mathematischen Formeln und Standards. Die Genauigkeit hängt von der Qualität der eingegebenen Daten ab. Für rechtlich bindende Berechnungen sollten Sie einen Fachexperten konsultieren.

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