Kreuzprodukt-Rechner

Das Kreuzprodukt (auch Vektorprodukt) ist eine mathematische Operation zwischen zwei 3D-Vektoren, die einen neuen Vektor ergibt, der senkrecht zu beiden Eingangsvektoren steht. Es wird in der Physik zur Berechnung von Drehmoment, Kraft und Magnetfeld verwendet, in der Computergrafik für Oberflächennormalen und in der Geometrie zur Flächenberechnung. Das Kreuzprodukt a⃗ × b⃗ ergibt einen Vektor mit den Komponenten (a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁).

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren a⃗ = (a₁, a₂, a₃) und b⃗ = (b₁, b₂, b₃) berechnet sich komponentenweise: x-Komponente = a₂ × b₃ - a₃ × b₂, y-Komponente = a₃ × b₁ - a₁ × b₃, z-Komponente = a₁ × b₂ - a₂ × b₁. Der resultierende Vektor steht senkrecht auf beiden Eingangsvektoren, und seine Richtung folgt der Rechte-Hand-Regel. Der Betrag des Kreuzprodukts entspricht der Fläche des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms.

Ein Kreuzprodukt von null (Nullvektor) tritt auf, wenn die beiden Vektoren parallel oder antiparallel zueinander sind, oder wenn einer der Vektoren der Nullvektor ist. In diesem Fall spannen die Vektoren kein Parallelogramm auf (Fläche = 0) und es gibt keine eindeutige senkrechte Richtung. Mathematisch gilt: a⃗ × b⃗ = 0 genau dann, wenn a⃗ = k × b⃗ für einen Skalar k. Dies ist ein wichtiger Test für Kollinearität von Vektoren.

Das Kreuzprodukt und das Skalarprodukt sind komplementäre Operationen: Das Skalarprodukt a⃗ · b⃗ = |a⃗| × |b⃗| × cos(θ) gibt die Projektion eines Vektors auf den anderen an, während das Kreuzprodukt |a⃗ × b⃗| = |a⃗| × |b⃗| × sin(θ) die 'Senkrecht-Komponente' misst. Zusammen erfüllen sie die Identität |a⃗ × b⃗|² + (a⃗ · b⃗)² = |a⃗|² × |b⃗|² (Pythagorean identity). Der Winkel θ zwischen den Vektoren kann aus beiden berechnet werden.

Die Richtung des Kreuzprodukts folgt der Rechte-Hand-Regel: Zeigt der Zeigefinger in Richtung des ersten Vektors und der Mittelfinger in Richtung des zweiten Vektors, dann zeigt der Daumen in Richtung des Kreuzprodukts. Diese Richtung ist wichtig in der Physik für die Bestimmung von Drehrichtungen und in der Computergrafik für die Berechnung von Oberflächennormalen. Das Kreuzprodukt ist nicht kommutativ: a⃗ × b⃗ = -(b⃗ × a⃗).

Der Betrag des Kreuzprodukts |a⃗ × b⃗| entspricht der Fläche des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms. Für die Fläche eines Dreiecks teilt man diesen Wert durch 2. Dies ist besonders nützlich in der Computergrafik zur Berechnung von Oberflächeninhalten oder in der Geometrie für die Berechnung von Flächen komplexer Polygone. In der Physik entspricht dies der Fläche, die ein Kraftvektor 'überstreicht', was für die Berechnung von Momenten relevant ist.

In der Physik hat das Kreuzprodukt viele wichtige Anwendungen: Drehmoment M⃗ = r⃗ × F⃗ (Hebelarm × Kraft), Lorentzkraft F⃗ = q(v⃗ × B⃗) auf bewegte Ladung im Magnetfeld, Drehimpuls L⃗ = r⃗ × p⃗ (Ortsvektor × Impuls), magnetische Feldstärke bei stromdurchflossenen Leitern. In all diesen Fällen steht das Ergebnis senkrecht zu beiden Eingangsvektoren, was die physikalische Realität korrekt beschreibt.

Das klassische Kreuzprodukt existiert nur im 3D-Raum. In 2D kann man ein 'pseudo-Kreuzprodukt' definieren, das einen Skalar liefert (a₁b₂ - a₂b₁). In höheren Dimensionen gibt es Verallgemeinerungen: den Wedge-Product (äußeres Produkt) in der Differentialgeometrie oder das verallgemeinerte Kreuzprodukt in 7D. Das 3D-Kreuzprodukt ist jedoch einzigartig in seinen Eigenschaften und der Produktion eines weiteren 3D-Vektors.

Um den Normalenvektor einer Ebene zu berechnen, nimmt man zwei nicht-parallele Vektoren, die in der Ebene liegen, und berechnet deren Kreuzprodukt. In der Computergrafik ist dies essentiell für Beleuchtungsberechnungen und Sichtbarkeitsprüfungen. Bei Dreiecken verwendet man zwei Kantenvektoren: n⃗ = (P₂-P₁) × (P₃-P₁). Die Normierung (n⃗/|n⃗|) ergibt den Einheitsnormalenvektor für konsistente Berechnungen.

Wichtige Eigenschaften: Antikommutativ: a⃗ × b⃗ = -(b⃗ × a⃗), Distributiv: a⃗ × (b⃗ + c⃗) = a⃗ × b⃗ + a⃗ × c⃗, Nicht assoziativ: (a⃗ × b⃗) × c⃗ ≠ a⃗ × (b⃗ × c⃗), Skalar-Multiplikation: (λa⃗) × b⃗ = λ(a⃗ × b⃗). Die Jacobi-Identität gilt: a⃗ × (b⃗ × c⃗) + b⃗ × (c⃗ × a⃗) + c⃗ × (a⃗ × b⃗) = 0. Diese Eigenschaften sind fundamental für algebraische Berechnungen.