Fakultät-Rechner

Die Fakultät einer natürlichen Zahl n (geschrieben als n!) ist das Produkt aller positiven ganzen Zahlen von 1 bis n. Zum Beispiel: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Per Definition ist 0! = 1. Fakultäten wachsen sehr schnell - bereits 20! hat über 18 Stellen. Sie sind fundamental in der Kombinatorik, Wahrscheinlichkeitsrechnung und vielen anderen mathematischen Bereichen.

Fakultäten haben viele praktische Anwendungen: In der Kombinatorik zur Berechnung von Permutationen (Anordnungen) und Kombinationen. In der Wahrscheinlichkeitsrechnung für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten. In der Statistik bei Binomial- und Poisson-Verteilungen. In der Analysis bei Taylor-Reihen und mathematischen Reihen. Auch in der Informatik bei Algorithmus-Analysen und rekursiven Problemen sind Fakultäten wichtig.

Fakultäten wachsen extrem schnell (faktorielles Wachstum). 10! = 3.628.800, aber 20! = 2.432.902.008.176.640.000. Die größte exakt darstellbare Fakultät in den meisten Computersystemen ist 170!, da sie noch in 64-Bit-Gleitkommazahlen passt. Für größere Werte verwendet man spezielle Algorithmen oder Näherungsformeln wie die Stirling-Approximation: n! ≈ √(2πn) × (n/e)^n.

Die Stirling-Approximation ist eine mathematische Formel zur Näherung großer Fakultäten: n! ≈ √(2πn) × (n/e)^n. Sie wurde von James Stirling entwickelt und wird immer genauer, je größer n wird. Für n=10 beträgt der Fehler nur etwa 0,8%. Diese Approximation ist besonders nützlich in der statistischen Mechanik, Thermodynamik und bei der Analyse von Algorithmen, wo exakte Werte nicht immer benötigt werden.

Permutationen (Anordnungen): P(n,r) = n!/(n-r)! - Anzahl der Möglichkeiten, r Objekte aus n auszuwählen, wobei die Reihenfolge wichtig ist. Kombinationen (Auswahlen): C(n,r) = n!/(r!(n-r)!) - Anzahl der Möglichkeiten, r Objekte aus n auszuwählen, wobei die Reihenfolge unwichtig ist. Beispiel: Aus 10 Personen 3 für ein Team auswählen = C(10,3) = 10!/(3!×7!) = 120 Möglichkeiten.

0! = 1 ist eine mathematische Konvention, die aus mehreren Gründen sinnvoll ist: Erstens macht sie viele Formeln einfacher und konsistenter. Zweitens folgt sie aus der rekursiven Definition n! = n × (n-1)!, da 1! = 1 × 0! sein muss, also 0! = 1. Drittens entspricht es der kombinatorischen Interpretation - es gibt genau eine Möglichkeit, null Objekte anzuordnen (die leere Anordnung). Diese Definition ist in der gesamten Mathematik universell akzeptiert.

Für kleine n (≤20) ist iterative Multiplikation am einfachsten. Bei größeren Werten gibt es effizientere Methoden: Die prime Faktorisierungsmethode nutzt Primzahlen für schnellere Berechnung. Für sehr große Fakultäten werden Näherungsformeln (Stirling) oder spezielle Bibliotheken verwendet. Moderne Computer-Algebra-Systeme nutzen den 'binary splitting'-Algorithmus für exakte Berechnungen bis n=100.000+. Floating-Point-Genauigkeit endet bei n≈170. Unser Rechner verwendet optimierte Algorithmen für schnelle und präzise Ergebnisse.

Die Gammafunktion Γ(n) erweitert die Fakultät auf alle komplexen Zahlen (außer negative ganze Zahlen). Es gilt: Γ(n+1) = n! für natürliche Zahlen. Die Formel Γ(x) = ∫₀^∞ t^(x-1)e^(-t)dt definiert sie für positive reelle Zahlen. So kann man 'Fakultäten' von Nicht-Ganzzahlen berechnen: (1/2)! = Γ(3/2) = √π/2 ≈ 0,886. Die Gammafunktion ist wichtig in Statistik (Chi-Quadrat-Verteilung), Physik und Ingenieurwissenschaften.

Die Berechnungen basieren auf aktuellen mathematischen Formeln und Standards. Die Genauigkeit hängt von der Qualität der eingegebenen Daten ab. Für rechtlich bindende Berechnungen sollten Sie einen Fachexperten konsultieren.

Ja, der Rechner ist vollständig responsiv gestaltet und funktioniert auf allen Geräten - Desktop, Tablet und Smartphone. Die Bedienung wurde für Touchscreens optimiert.