Eigenwerte-Rechner

Eigenwerte (λ) und Eigenvektoren (v) einer Matrix A erfüllen die Gleichung Av = λv. Der Eigenvektor v ändert bei der Multiplikation mit A nur seine Länge um den Faktor λ (Eigenwert), aber nicht seine Richtung. Sie sind fundamental für viele Bereiche der Mathematik und Physik, einschließlich Quantenmechanik, Hauptkomponentenanalyse, Stabilitätsanalyse dynamischer Systeme und Schwingungsanalyse.

Für eine 2x2 Matrix [[a,b],[c,d]] berechnet man das charakteristische Polynom det(A - λI) = (a-λ)(d-λ) - bc = λ² - (a+d)λ + (ad-bc). Die Eigenwerte sind dann λ₁,₂ = (Spur ± √(Spur² - 4·Determinante))/2. Die Diskriminante Δ = Spur² - 4·Determinante bestimmt, ob die Eigenwerte reell (Δ ≥ 0) oder komplex (Δ < 0) sind.

Das charakteristische Polynom einer Matrix A ist det(A - λI), wobei I die Einheitsmatrix ist. Die Nullstellen dieses Polynoms sind die Eigenwerte der Matrix. Für eine nxn Matrix ist es ein Polynom n-ten Grades in λ. Das charakteristische Polynom enthält wichtige Informationen über die Matrix: Die Koeffizienten sind Funktionen der Spur, Determinante und anderer Invarianten der Matrix.

Nach Berechnung der Eigenwerte λᵢ löst man das homogene Gleichungssystem (A - λᵢI)v = 0 für jeden Eigenwert. Die nichttrivialen Lösungen dieses Systems sind die zu λᵢ gehörenden Eigenvektoren. Der Eigenraum zu λᵢ ist der Lösungsraum dieses Gleichungssystems. Eigenvektoren sind nur bis auf einen skalaren Faktor eindeutig bestimmt und werden oft normalisiert.

Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn für jeden Eigenwert die algebraische und geometrische Vielfachheit übereinstimmen. Äquivalent: wenn sie n linear unabhängige Eigenvektoren besitzt (bei nxn Matrix). Symmetrische Matrizen sind immer diagonalisierbar über den reellen Zahlen. Die Diagonalisierung hat die Form A = PDP⁻¹, wobei D die Diagonalmatrix der Eigenwerte und P die Matrix der Eigenvektoren ist.

Wichtige Eigenschaften von Eigenwerten: Die Summe aller Eigenwerte entspricht der Spur der Matrix, das Produkt aller Eigenwerte entspricht der Determinante. Eigenwerte reeller symmetrischer Matrizen sind immer reell. Bei orthogonalen Matrizen haben alle Eigenwerte Betrag 1. Ähnliche Matrizen haben dieselben Eigenwerte. Die Eigenwerte von A^n sind die n-ten Potenzen der Eigenwerte von A.

Eigenwerte haben vielfältige Anwendungen: Stabilitätsanalyse in der Regelungstechnik (negative reelle Eigenwerte bedeuten Stabilität), Hauptkomponentenanalyse in der Statistik (größte Eigenwerte zeigen wichtigste Variationsrichtungen), Quantenmechanik (Eigenwerte sind Messwerte physikalischer Observablen), Schwingungsanalyse in der Mechanik, PageRank-Algorithmus von Google, Gesichtserkennung und Bildkompression, sowie Markov-Ketten-Analyse.

Komplexe Eigenwerte λ = a ± bi treten als konjugierte Paare auf und zeigen oszillierendes Verhalten an. Der Realteil a bestimmt das Wachstum/Zerfall: a < 0 bedeutet gedämpfte Schwingung, a > 0 bedeutet aufschaukelnde Schwingung, a = 0 bedeutet ungedämpfte Oszillation. Der Imaginärteil b bestimmt die Frequenz der Schwingung: ω = |b|. In Anwendungen: Für Regelungssysteme müssen alle Eigenwerte negative Realteile haben (Stabilität). Bei mechanischen Schwingungen zeigen komplexe Eigenwerte Eigenschwingungen an. In der Quantenmechanik müssen Eigenwerte reell sein (Hermitesche Operatoren), was messbare Größen garantiert.

Die Berechnungen basieren auf aktuellen mathematischen Formeln und Standards. Die Genauigkeit hängt von der Qualität der eingegebenen Daten ab. Für rechtlich bindende Berechnungen sollten Sie einen Fachexperten konsultieren.

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