Differentialgleichung-Rechner

Eine Differentialgleichung (DGL) ist eine mathematische Gleichung, die eine unbekannte Funktion und ihre Ableitungen miteinander verknüpft. Sie beschreibt, wie sich eine Größe in Abhängigkeit von einer anderen ändert. Differentialgleichungen sind fundamental in Physik, Ingenieurwissenschaften, Biologie und Wirtschaft, da sie natürliche Prozesse wie Wachstum, Zerfall, Schwingungen oder Wärmeübertragung mathematisch modellieren. Die Lösung einer DGL ist eine Funktion, die die Gleichung erfüllt.

Differentialgleichungen lassen sich nach verschiedenen Kriterien klassifizieren: Nach der Ordnung (1., 2., ... Ordnung je nach höchster Ableitung), nach der Linearität (linear oder nichtlinear), nach der Homogenität (homogen oder inhomogen) und nach der Anzahl der Variablen (gewöhnliche DGL mit einer Variable, partielle DGL mit mehreren Variablen). Häufige Typen sind lineare DGL 1. Ordnung, trennbare DGL, exakte DGL, Bernoulli-DGL und lineare DGL mit konstanten Koeffizienten.

Lineare DGL 1. Ordnung haben die Form y' + p(x)y = q(x). Für homogene Gleichungen (q(x) = 0) trennt man Variablen: dy/y = -p(x)dx und integriert beide Seiten. Für inhomogene Gleichungen nutzt man den integrierenden Faktor μ(x) = e^(∫p(x)dx). Die Lösung ist dann y = (1/μ(x))[∫μ(x)q(x)dx + C]. Mit Anfangsbedingungen y(x₀) = y₀ lässt sich die Konstante eindeutig bestimmen.

Differentialgleichungen sind überall in Naturwissenschaft und Technik anzutreffen: In der Physik beschreiben sie Bewegungsgleichungen (Newton), Wellenausbreitung, Wärmeleitung und elektromagnetische Felder. In der Biologie modellieren sie Populationsdynamik, Epidemieausbreitung und biochemische Reaktionen. In den Ingenieurwissenschaften werden sie für Regelungstechnik, Schwingungsanalyse und Strömungsmechanik verwendet. In der Wirtschaft beschreiben sie Wachstumsmodelle, Marktdynamiken und Optionspreisbildung.

Die Klassifikation erfolgt systematisch: Zuerst bestimmt man die Ordnung (höchste Ableitung). Dann prüft man auf Linearität: Kommen y und seine Ableitungen nur linear vor? Für DGL 1. Ordnung prüft man: Ist sie trennbar (Variablen separierbar)? Ist sie exakt (∂M/∂y = ∂N/∂x)? Ist sie homogen (y' = f(y/x))? Für lineare DGL prüft man auf konstante Koeffizienten und Homogenität. Bei DGL höherer Ordnung schaut man auf die charakteristische Gleichung.

Die allgemeine Lösung einer DGL enthält Integrationskonstanten (eine pro Ordnung der DGL) und beschreibt alle möglichen Lösungskurven. Die partikuläre Lösung ist eine spezifische Lösung, die durch Anfangs- oder Randbedingungen eindeutig festgelegt wird. Beispiel: y' = 2x hat allgemeine Lösung y = x² + C. Mit y(0) = 3 wird C = 3 bestimmt, partikuläre Lösung y = x² + 3. Bei inhomogenen DGL ist die allgemeine Lösung = homogene Lösung + eine partikuläre Lösung.

Trennbare DGL haben die Form y' = f(x)·g(y). Lösungsweg: 1) Umformen zu dy/g(y) = f(x)dx. 2) Beide Seiten integrieren: ∫1/g(y)dy = ∫f(x)dx. 3) Nach y auflösen (wenn möglich). 4) Konstante C durch Anfangsbedingung bestimmen. Beispiel: y' = xy → dy/y = xdx → ln|y| = x²/2 + C → y = Ce^(x²/2). Wichtig: Auf Definitionslücken achten (Division durch g(y) = 0)!

Wenn analytische Lösungen nicht möglich sind, nutzt man numerische Verfahren: Euler-Verfahren (einfach, aber ungenau), Heun-Verfahren (Verbesserung von Euler), Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung (Standard, gute Genauigkeit), Adams-Bashforth-Methoden (Mehrschrittverfahren für effiziente Berechnung). Die Schrittweite h bestimmt Genauigkeit und Rechenaufwand. Moderne Software (MATLAB, Python mit scipy) implementiert adaptive Verfahren, die Schrittweite automatisch anpassen.

Die Berechnungen basieren auf aktuellen mathematischen Formeln und Standards. Die Genauigkeit hängt von der Qualität der eingegebenen Daten ab. Für rechtlich bindende Berechnungen sollten Sie einen Fachexperten konsultieren.

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